déf: Un entier naturel non nul est "bon" lorsqu'on peut l'écrire sous la forme d'une somme d'entiers naturels dont la somme des inverses vaut 1. Une telle écriture est appelée "bonne décomposition". Un entier naturel est "mauvais" lorsqu'il n'est pas "bon".
Voici quelques propriétés sur les nombres bons:
Je suis en train d'essayer de démontrer la prop4, que j'ai utilisée dans un programme BASIC pour tester si un nombre est bon. Ci-dessous vous trouverez la liste des bons/mauvais nombres jusqu'a 316, des bonnes décompositions de nombres, et le programme BASIC.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 |
161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 |
201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 |
221 | 222 | 223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 |
241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 256 | 257 | 258 | 259 | 260 |
261 | 262 | 263 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 269 | 270 | 271 | 272 | 273 | 274 | 275 | 276 | 277 | 278 | 279 | 280 |
281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 |
301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 | 320 |
321 | 322 | 323 | 324 | 325 | 326 | 327 | 328 | 329 | 330 | 331 | 332 | 333 | 334 | 335 | 336 | 337 | 338 | 339 | 340 |
341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 347 | 348 | 349 | 350 | 351 | 352 | 353 | 354 | 355 | 356 | 357 | 358 | 359 | 360 |
361 | 362 | 363 | 364 | 365 | 366 | 367 | 368 | 369 | 370 | 371 | 372 | 373 | 374 | 375 | 376 | 377 | 378 | 379 | 380 |
381 | 382 | 383 | 384 | 385 | 386 | 387 | 388 | 389 | 390 | 391 | 392 | 393 | 394 | 395 | 396 | 397 | 398 | 399 | 400 |
401 | 402 | 403 | 404 | 405 | 406 | 407 | 408 | 409 | 410 | 411 | 412 | 413 | 414 | 415 | 416 | 417 | 418 | 419 | 420 |
421 | 422 | 423 | 424 | 425 | 426 | 427 | 428 | 429 | 430 | 431 | 432 | 433 | 434 | 435 | 436 | 437 | 438 | 439 | 440 |
441 | 442 | 443 | 444 | 445 | 446 | 447 | 448 | 449 | 450 | 451 | 452 | 453 | 454 | 455 | 456 | 457 | 458 | 459 | 460 |
461 | 462 | 463 | 464 | 465 | 466 | 467 | 468 | 469 | 470 | 471 | 472 | 473 | 474 | 475 | 476 | 477 | 478 | 479 | 480 |
481 | 482 | 483 | 484 | 485 | 486 | 487 | 488 | 489 | 490 | 491 | 492 | 493 | 494 | 495 | 496 | 497 | 498 | 499 | 500 |
501 | 502 | 503 | 504 | 505 | 506 | 507 | 508 | 509 | 510 | 511 | 512 | 513 | 514 | 515 | 516 | 517 | 518 | 519 | 520 |
521 | 522 | 523 | 524 | 525 | 526 | 527 | 528 | 529 | 530 | 531 | 532 | 533 | 534 | 535 | 536 | 537 | 538 | 539 | 540 |
541 | 542 | 543 | 544 | 545 | 546 | 547 | 548 | 549 | 550 | 551 | 552 | 553 | 554 | 555 | 556 | 557 | 558 | 559 | 560 |
1=1 | 11=2+3+6 | 17=3+4+4+6 |
26=4+4+6+6+6 | 27=3+6+6+6+6 | 29=2+3+12+12 |
30=2+3+10+15 | 31=2+4+5+20 | 32=2+3+9+18 |
35=2+6+9+9+9 | 37=2+3+8+24 | 41=2+6+6+9+18 |
43=2+4+10+12+15 | 44=3+3+6+8+24 | 45=2+4+9+12+18 |
47=3+4+8+8+12+12 | 51=3+3+5+10+30 | 53=2+5+6+10+30 |
55=2+4+7+14+28 | 59=2+3+18+18+18 | 61=2+3+14+21+21 |
63=2+5+12+12+12+20 | 67=2+3+12+20+30 | 69=2+3+14+15+35 |
71=2+3+11+22+33 | 73=2+4+12+15+20+20 | 77=2+9+12+12+12+12+18 |
79=2+3+10+24+40 | 83=2+4+9+18+20+30 | 85=2+4+10+14+20+35 |
89=2+3+9+30+45 | 91=2+4+5+40+40 | 95=2+3+9+27+54 |
97=2+4+7+28+28+28 | 101=2+3+24+24+24+24 | 103=2+3+20+24+24+30 |
107=2+3+18+24+24+36 | 109=2+3+8+48+48 | 113=2+3+8+40+60 |
115=2+3+12+14+84 | 125=2+3+12+36+36+36 | 127=2+3+12+30+40+40 |
131=2+4+9+14+18+84 | 133=2+3+16+16+48+48 | 137=2+3+11+33+44+44 |
139=2+3+12+24+42+56 | 143=2+4+9+18+30+40+40 | 149=2+3+12+22+44+66 |
151=2+3+10+40+48+48 | 157=2+3+12+20+60+60 | 163=2+3+8+30+120 |
167=2+3+14+16+48+84 | 173=2+3+10+28+60+70 | 179=2+3+9+45+60+60 |
181=2+3+7+78+91 | 187=2+3+7+70+105 | 191=2+3+12+24+30+120 |
193=2+3+15+30+33+55+55 | 197=2+3+9+36+63+84 | 199=2+3+10+24+80+80 |
203=2+3+14+28+40+56+60 | 211=2+3+12+42+48+48+56 | 221=2+3+12+34+51+51+68 |
223=2+3+11+20+55+132 | 227=2+3+12+18+48+144 | 229=2+3+8+72+72+72 |
233=2+3+8+60+80+80 | 239=2+3+12+30+45+63+84 | 241=2+3+12+28+56+56+84 |
247=2+3+8+52+78+104 | 251=2+3+10+28+40+168 | 253=2+3+8+48+96+96 |
257=2+3+8+48+84+112 | 263=2+3+10+45+63+70+70 | 269=2+3+8+56+60+140 |
271=2+3+10+16+240 | 277=2+3+8+44+88+132 | 281=2+3+11+30+50+75+110 |
283=2+3+10+36+72+80+80 | 293=2+3+8+40+120+120 | 307=2+3+8+42+84+168 |
311=2+3+9+54+81+81+81 | 313=2+3+12+20+80+84+112 | 317=2+3+8+38+114+152 |
319=2+3+9+25+100+180 | 323=2+3+8+40+90+180 | 331=2+3+9+45+80+96+96 |
337=2+3+8+36+144+144 | 341=2+3+9+42+90+90+105 | 347=2+3+8+40+84+210 |
349=2+3+8+36+120+180 | 353=2+3+9+42+72+105+120 | 359=2+3+9+45+60+120+120 |
367=2+3+10+26+91+105+130 | 373=2+3+8+36+108+216 | 379=2+3+8+42+72+252 |
383=2+3+9+36+90+108+135 | 389=2+3+9+45+55+110+165 | 391=2+3+8+40+78+260 |
397=2+3+7+105+140+140 | 401=2+3+8+45+63+280 | 403=2+3+8+78+104+104+104 |
409=2+3+8+72+108+108+108 | 419=2+3+8+66+110+110+120 | 421=2+3+8+68+102+102+136 |
431=2+3+8+66+88+132+132 | 433=2+3+8+35+105+280 | 437=2+3+8+32+168+224 |
439=2+3+7+84+147+196 | 443=2+3+8+60+100+120+150 | 449=2+3+8+56+114+133+133 |
457=2+3+7+84+133+228 | 461=2+3+8+56+98+147+147 | 463=2+3+8+54+108+144+144 |
467=2+3+8+80+80+84+210 | 479=2+3+8+56+88+154+168 | 487=2+3+8+60+84+120+210 |
491=2+3+8+56+84+156+182 | 493=2+3+8+48+144+144+144 | 499=2+3+8+36+90+360 |
503=2+3+8+50+120+120+200 | 509=2+3+8+48+112+168+168 | 521=2+3+8+56+77+165+210 |
523=2+3+8+30+240+240 | 527=2+3+7+75+140+300 | 541=2+3+7+46+483 |
547=2+3+8+46+120+138+230 | 557=2+3+8+32+128+384 |
REM2003jan08-Alain Brobecker (baah/Arm's Tech) REMon s'arrete des qu'une decomposition est trouvee, et on 'crible'. max=320 DIMbon(max):FORc=1TOmax:bon(c)=0:NEXT DIMterme(INT(SQRmax)) :REMtermes de la decomposition FORn=1TOmax IFbon(n)>0THEN PRINT;n;"*" PROCcrible(n) ELSE nbtermes=1 bon=0 maxnbtermes=INT(SQRn) WHILE(bon=0)AND(nbtermes<=maxnbtermes) PROCdecompose(1,2,n,1,1) nbtermes+=1 ENDWHILE IFbon=1THEN bon(n)=1 PROCcrible(n) ENDIF ENDIF NEXTn END REMdeclare to les m*n+m*(m-1) comme bons DEFPROCcrible(n) LOCALi,m m=2 i=m*(n+m-1) WHILEi<=max bon(i)=2 m+=1 i=m*(n+m-1) ENDWHILE ENDPROC REMdecomposition recursive DEFPROCdecompose(position,debut,reste,p,q) LOCALi,p2,q2,nbrestant IFbon=1THENENDPROC nbrestant=nbtermes+1-position IFnbrestant>1THEN i=debut WHILE(nbrestant*i<=reste) p2=p*i-q IFp2>=0THEN q2=q*i g=FNgcd(p2,q2) p2=p2/g q2=q2/g terme(position)=i PROCdecompose(position+1,i,reste-i,p2,q2) ENDIF i+=1 ENDWHILE ELSE IFp*reste=q THEN bon=1 PRINT;n;" = "; i=1 WHILEi<position PRINT;terme(i);"+"; i+=1 ENDWHILE PRINT;reste ENDIF ENDIF ENDPROC DEFFNgcd(a,b) LOCALc IFb<a THEN SWAPa,b :REMb>=a WHILEa<>0 c=b MOD a b=a a=c ENDWHILE =b